Το πρόβλημα των κβαντικών συστημάτων πολλών σωμάτων βρίσκεται στο επίκεντρο της θεωρητικής και πειραματικής φυσικής εδώ και δεκαετίες. Παρότι οι θεμελιώδεις νόμοι που διέπουν τα στοιχειώδη σωματίδια είναι γνωστοί εδώ και σχεδόν έναν αιώνα, τα πιο ενδιαφέροντα φαινόμενα προκύπτουν από τη συλλογική και πολύπλοκη συμπεριφορά πολλών αλληλεπιδρώντων κβαντικών σωματιδίων.
Περιορισμοί παραδοσιακών προσεγγίσεων
Οι ακριβείς προσομοιώσεις αυτών των συστημάτων είναι υπολογιστικά αδύνατες, λόγω του τεράστιου αριθμού βαθμών ελευθερίας. Οι προσεγγίσεις με προσεγγιστικές μεθόδους, όπως η θεωρία διαταραχών, μπορούν να προσφέρουν πληροφορίες, αλλά απαιτούν το σύστημα να είναι σχεδόν μη αλληλεπιδρόν, κάτι που συχνά δεν ισχύει.
Πιο πρόσφατα, η θεωρία κβαντικής πληροφορίας προσέφερε μια νέα οπτική για την προσέγγιση αυτών των συστημάτων. Διαπιστώθηκε ότι οι χαμηλής ενέργειας καταστάσεις σε τοπικά μοντέλα παρουσιάζουν περιορισμένη εμπλοκή (entanglement) σε σχέση με γενικές κβαντικές καταστάσεις. Αυτό το χαρακτηριστικό αξιοποιείται από τις μεθόδους των δικτύων τανυστών.
Ερευνητές από το Πανεπιστήμιο του Cambridge, το Institut des Hautes Études Scientifiques και το Πανεπιστήμιο της Γάνδης παρουσίασαν μια νέα στρατηγική βασισμένη σε δίκτυα τανυστών που μπορεί να βελτιώσει τη προσομοίωση κβαντικών συστημάτων πολλών σωμάτων. Η μεθοδολογία τους, που δημοσιεύτηκε στο Nature Physics, στοχεύει στη βελτίωση της αποδοτικότητας προσομοιώσεων σε κβαντικά πλέγματα που δύσκολα προσεγγίζονται με τις υπάρχουσες τεχνικές.
Η συμβολή των matrix product operators
«Πρόσφατες εργασίες καθιέρωσαν τους matrix product operators (MPOs) ως τη σωστή γλώσσα για τη μελέτη γενικευμένων παγκόσμιων συμμετριών σε μονοδιάστατα κβαντικά συστήματα», δήλωσε ο Laurens Lootens, πρώτος συγγραφέας του άρθρου.
Οι συμμετρίες αυτές περιγράφονται μαθηματικά μέσω των fusion categories – δομές που γενικεύουν τις ομάδες. Τα MPOs κωδικοποιούν τους τρόπους με τους οποίους τέτοιες συμμετρίες μπορούν να δρουν σε αλυσίδες σπιν.
Τα δίκτυα τανυστών, ειδικά τα matrix product states (MPS), έχουν δείξει εξαιρετική αριθμητική ισχύ. Αντιπροσωπεύοντας αποδοτικά συστήματα πολλών σωμάτων, υπερβαίνουν τα όρια παραδοσιακών υπολογιστικών μεθόδων και επιτρέπουν την προσομοίωση χαμηλής ενέργειας συμπεριφοράς σε έντονα αλληλεπιδρώντα κβαντικά συστήματα.
Η βασική καινοτομία
«Στην πρόσφατη εργασία μας, επιδιώξαμε να ενώσουμε την εκπροσώπηση των συμμετριών μέσω της θεωρίας παραστάσεων με τις καθιερωμένες μεταβλητές μεθόδους βελτιστοποίησης MPS», εξηγεί ο Lootens.
Η κύρια συνεισφορά τους είναι η απόδειξη ότι κάθε μονοδιάστατο κβαντικό σύστημα με συμμετρία μπορεί να απεικονιστεί σε ένα ισοδύναμο δυαδικό Hamiltonian με το ίδιο φάσμα ενέργειας, αλλά του οποίου η θεμελιώδης κατάσταση παραβιάζει αυθόρμητα τη δυαδική συμμετρία.
Αφαίρεση της περιττής εμπλοκής και μείωση της υπολογιστικής πολυπλοκότητας
Η νέα αυτή μεταβλητή προσέγγιση επιτρέπει την αποτελεσματικότερη εύρεση θεμελιωδών καταστάσεων που παραβιάζουν συμμετρίες, σε αντίθεση με τις παραδοσιακές συμμετρικές μεθόδους που επιβάλλουν περιορισμούς και περιττές εμπλοκές στο δίκτυο.
«Η απεικόνιση σε ένα μοντέλο με παραβίαση συμμετρίας απομακρύνει αυτή την περιττότητα και αποκαλύπτει τη μαθηματική δομή της θεμελιώδους κατάστασης και του φάσματος των διεγέρσεών της», λέει ο Lootens.
Αυτή η προσέγγιση ενισχύει σημαντικά τις παραδοσιακές μεθόδους με συμμετρικά δίκτυα τανυστών, οι οποίες αποδίδουν κυρίως μόνο σε πλήρως συμμετρικές φάσεις. Το νέο πλαίσιο μπορεί να εφαρμοστεί σε όλες τις πιθανές φασικές καταστάσεις με ενεργειακό χάσμα (gapped phases).
Προοπτικές για πολυδιάστατα συστήματα
Η μέθοδος εφαρμόστηκε αρχικά σε μονοδιάστατα συστήματα, τα οποία είναι μαθηματικά και υπολογιστικά πιο προσιτά. Όμως οι ερευνητές σκοπεύουν να την επεκτείνουν σε υψηλότερες διαστάσεις.
«Οι μέθοδοι με δίκτυα τανυστών έχουν εφαρμοστεί και σε προβλήματα υψηλότερων διαστάσεων, αλλά εκεί η υπολογιστική πολυπλοκότητα είναι πολύ μεγαλύτερη», προσθέτει ο Lootens.
Ελπίδες για το μέλλον
Η εκμετάλλευση όλων των δυνατών συμμετριών σε τέτοια μοντέλα είναι κρίσιμη, κάτι που απαιτεί γενίκευση της προσέγγισής τους σε περισσότερες διαστάσεις. Όμως, όπως καταλήγει ο Lootens:
«Ευτυχώς, η μαθηματική κατανόηση των γενικευμένων συμμετριών σε υψηλότερες διαστάσεις έχει προχωρήσει σημαντικά τα τελευταία χρόνια και είμαστε πεπεισμένοι ότι αυτό θα έχει ισχυρό αντίκτυπο στην αριθμητική αντιμετώπιση του προβλήματος των κβαντικών συστημάτων πολλών σωμάτων».
More information: Laurens Lootens et al, Entanglement and the density matrix renormalization group in the generalized Landau paradigm, Nature Physics (2025). DOI: 10.1038/s41567-025-02961-2
Journal information: Nature Physics