Μια νέα μαθηματική ανακάλυψη φαίνεται να έχει προκαλέσει αναστάτωση στους μαθηματικούς, αμφισβητώντας τα ίδια τα θεμέλια των μαθηματικών. Πρόκειται για μια προδημοσίευση που δεν έχει ακόμη αξιολογηθεί από ομότιμους και μπορεί να έχει τεράστιες συνέπειες για το πώς κατανοούμε το άπειρο.
Μαθηματικές αλλαγές εκ θεμελίων
Αυτή η ανακάλυψη είναι ιδιαίτερα κατάλληλη για το πεδίο της θεωρίας συνόλων: μια περιοχή που φημίζεται για την αφαίρεση και τη συχνά αντιφατική φύση της· έχει το δικό της ειδικό αλφάβητο και γλώσσα και είναι διάσημη για τα αποτελέσματα που φαίνονται είτε τόσο απλά που μοιάζουν περιττά (όπως το 1 + 1 = 2) ή τόσο παράλογα που φαίνεται να έχουν γίνει λάθη κάπου στην πορεία (όπως το 1 + 1 = 1).
Το πρόβλημα είναι ότι η θεωρία συνόλων είναι αναπόφευκτη: στην καρδιά της βρίσκεται η αναζήτηση για να τιθασεύσουμε τα μαθηματικά μια για πάντα – να καταλάβουμε τι μπορούμε να αποδείξουμε και τι απλώς πρέπει να υποθέσουμε.
Για να το κάνουμε αυτό, οι μαθηματικοί συχνά αναγκάζονται να αναζητούν τις ακραίες περιπτώσεις: τα σημεία των μαθηματικών όπου τα πράγματα είναι τόσο τεράστια, παράξενα ή θεμελιώδη, ώστε όλοι οι κανόνες που θεωρούμε δεδομένους αρχίζουν να καταρρέουν.
Δυστυχώς, μερικές φορές τα καταφέρνουν.
Η σκάλα του απείρου
Το «άπειρο» είναι μια έννοια που δύσκολα γίνεται κατανοητή. Δεν αρκεί να πούμε, για παράδειγμα, ότι «το άπειρο είναι ο αριθμός των φυσικών αριθμών», γιατί αν ισχύει αυτό, πόσα ζυγά νούμερα υπάρχουν;
Πόσα κλάσματα; Πόσα άρρητα νούμερα; Η απάντηση για όλα τα παραπάνω είναι, απρόσμενη, επίσης «άπειρο» – αλλά υπάρχουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά μεγέθη του απείρου εκεί.
Οι μαθηματικοί, όπως αποδεικνύεται, μπορούν να αποδείξουν ότι τα σύνολα των ζυγών αριθμών, των φυσικών αριθμών και των κλασμάτων είναι του ίδιου μεγέθους – ένα άπειρο γνωστό ως ℵ0 (διαβάζεται «άλεφ-μηδέν»).
Από την άλλη πλευρά, το σύνολο των πραγματικών αριθμών – δηλαδή όλων των ρητών και άρρητων αριθμών – είναι πολύ μεγαλύτερο.
Ακριβώς πόσο μεγαλύτερο, ωστόσο, είναι ένα ερώτημα που ήδη πιέζει τα όρια του τι ξέρουμε και μπορούμε να αποδείξουμε. Εδώ μπαίνουμε στον κόσμο των «μεγάλων καρδινάλων»: αριθμών «τόσο μεγάλων που δεν μπορείς να αποδείξεις την ύπαρξή τους χρησιμοποιώντας τους τυπικούς αξιώματα των μαθηματικών», εξηγεί η Joan Bagaria, μία από τους τρεις συν-συγγραφείς της νέας έρευνας και μαθηματικός στο Ινστιτούτο ICREA και στο Πανεπιστήμιο της Βαρκελώνης.
Αυτό είναι ένα γεγονός που είναι και περιορισμός και δύναμη. Το ότι υπάρχει εκτός του ZFC – οι αρχικοί κανόνες των οποίων είναι το «Zermelo-Fraenkel plus Axiom of Choice». Δηλαδή, δεν μπορεί να αποδειχθεί – μόνο να υποτεθεί αληθινό όπως παίρνουμε για δεδομένο ότι το x = x.
Καλωσορίσατε στη Ζούγκλα
Στον όλο και πιο παράξενο αυτό ιεραρχικό κόσμο προστέθηκαν οι νέοι αριθμοί. Οι ερευνητές τους ονόμασαν «ακριβείς» και «υπερακριβείς» κάρδινάλους, οι οποίοι «ζούνε στην κορυφή της ιεραρχίας των μεγάλων καρδινάλιων», εξηγεί η Bagaria.
«Είναι συμβατοί με το αξίωμα της επιλογής και έχουν πολύ φυσικές διατυπώσεις, ώστε να μπορούν να γίνουν εύκολα αποδεκτοί».
Μέχρι στιγμής, όλα φαίνονται λογικά – αλλά οι νέοι καρδινάλιοι-ακέραιοι προκαλούν προβλήματα για τη θεώρηση του απείρου από κάποιους μαθηματικούς.
Το πρόβλημα έγκειται σε μια ιδιότητα που λέγεται «Hereditary Ordinal Definability» ή HOD – η ιδέα ότι ένα σύνολο, ακόμα και αν είναι άπειρα μεγάλο, μπορεί να γίνει κατανοητό με έναν τρόπο «αριθμώντας μέχρι αυτό».
Μια ακριβής ερώτηση
Στον ήδη παράξενο κόσμο των μεγάλων καρδινάλιων, οι ακριβείς και υπερακριβείς καρδινάλιοι που παρουσιάστηκαν στην προδημοσίευση είναι εξαιρετικά περίεργοι.
«Κανονικά, οι μεγάλες έννοιες του απείρου ‘τακτοποιούνται’ με την έννοια ότι ακόμα και αν ανακαλυφθούν σε διαφορετικά συμφραζόμενα, η μία είναι πάντα σαφώς μεγαλύτερη ή μικρότερη από την άλλη», λέει ο Aguilera. «Οι υπερακριβείς καρδινάλιοι φαίνεται να είναι διαφορετικοί».
Δεν είναι μόνο το ότι δεν «ταιριάζουν» ακριβώς, αλλά κάνουν και τους άλλους καρδινάλιους να συμπεριφέρονται παράξενα, εξηγεί ο Aguilera.
«Αλληλεπιδρούν πολύ παράξενα με προηγούμενες έννοιες του απείρου», λέει ο Aguilera.
Είναι ένα αναπάντεχο μπλέξιμο σε ό,τι νομίζαμε ότι ήταν μια καλά οργανωμένη ιεραρχία – και επηρεάζει όλο το μαθηματικό σύστημα.
Podcast
