Το θεώρημα των πιθανοτήτων απέκτησε κβαντική αναβάθμιση έπειτα από 250 χρόνια

Πόσο πιθανό θεωρείς ότι θα συμβεί κάτι εξαρτάται από το τι ήδη πιστεύεις για τις περιστάσεις. Αυτή είναι η απλή ιδέα πίσω από τον κανόνα του Bayes, μια προσέγγιση στον υπολογισμό πιθανοτήτων που προτάθηκε για πρώτη φορά το 1763. Τώρα, μια διεθνής ομάδα ερευνητών έδειξε πώς λειτουργεί ο κανόνας του Bayes στον κβαντικό κόσμο.

«Θα έλεγα ότι είναι μια ανακάλυψη στη μαθηματική φυσική», δήλωσε ο καθηγητής Valerio Scarani, Αναπληρωτής Διευθυντής και Κύριος Ερευνητής στο Centre for Quantum Technologies, και μέλος της ομάδας. Οι συν-συγγραφείς του, σε εργασία που δημοσιεύθηκε στις 28 Αυγούστου 2025 στο Physical Review Letters, είναι ο Επίκουρος Καθηγητής Ge Bai στο Hong Kong University of Science and Technology στην Κίνα και ο Καθηγητής Francesco Buscemi στο Nagoya University στην Ιαπωνία.

«Ο κανόνας του Bayes μάς βοηθά να κάνουμε πιο έξυπνες υποθέσεις εδώ και 250 χρόνια. Τώρα του μάθαμε μερικά κβαντικά κόλπα», είπε ο καθηγητής Buscemi.

Παρόλο που προηγούμενοι ερευνητές είχαν προτείνει κβαντικά ανάλογα για τον κανόνα του Bayes, αυτοί είναι οι πρώτοι που τον παράγουν απευθείας από μια θεμελιώδη αρχή.

Υπό συνθήκη πιθανότητα

Ο κανόνας του Bayes πήρε το όνομά του από τον Thomas Bayes, ο οποίος καθόρισε πρώτος τους κανόνες του για τις υπό συνθήκη πιθανότητες στο έργο του «An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances».

Σκέψου την περίπτωση ενός ατόμου που βγαίνει θετικό στη γρίπη. Μπορεί να υποπτευόταν ότι ήταν άρρωστο, αλλά αυτή η νέα πληροφορία αλλάζει τον τρόπο που σκέφτεται για την υγεία του. Ο κανόνας του Bayes παρέχει έναν τρόπο υπολογισμού της πιθανότητας για γρίπη όχι μόνο με βάση το αποτέλεσμα του τεστ και την πιθανότητα λάθους του τεστ, αλλά και τις αρχικές πεποιθήσεις του ατόμου.

Ο κανόνας του Bayes ερμηνεύει τις πιθανότητες ως εκφράσεις βαθμού πίστης σε ένα γεγονός. Αυτό έχει συζητηθεί πολύ, καθώς ορισμένοι στατιστικολόγοι θεωρούν ότι οι πιθανότητες πρέπει να είναι «αντικειμενικές» και όχι βασισμένες σε πεποιθήσεις. Ωστόσο, σε καταστάσεις όπου εμπλέκονται πεποιθήσεις, ο κανόνας του Bayes γίνεται αποδεκτός ως οδηγός για συλλογισμό. Γι’ αυτό και έχει βρει ευρεία χρήση, από ιατρική διάγνωση και πρόγνωση καιρού μέχρι την επιστήμη δεδομένων και το machine learning.

Η αρχή της ελάχιστης αλλαγής

Όταν υπολογίζουμε πιθανότητες με τον κανόνα του Bayes, ακολουθείται η αρχή της ελάχιστης αλλαγής. Μαθηματικά, αυτή η αρχή ελαχιστοποιεί την απόσταση ανάμεσα στις κατανομές πιθανοτήτων των αρχικών και των ανανεωμένων πεποιθήσεων.

Διαισθητικά, η ιδέα είναι ότι για κάθε νέο κομμάτι πληροφορίας, οι πεποιθήσεις ενημερώνονται με τον μικρότερο δυνατό τρόπο που είναι συμβατός με τα νέα δεδομένα. Στην περίπτωση του τεστ γρίπης, για παράδειγμα, ένα αρνητικό τεστ δεν σημαίνει ότι το άτομο είναι υγιές, αλλά μάλλον ότι είναι λιγότερο πιθανό να έχει γρίπη.

Στην εργασία τους, ο καθηγητής Scarani, ο επίκουρος καθηγητής Bai και ο καθηγητής Buscemi ξεκίνησαν με ένα κβαντικό ανάλογο της αρχής της ελάχιστης αλλαγής. Ποσοτικοποίησαν την αλλαγή μέσω της κβαντικής πιστότητας (quantum fidelity), ενός μέτρου εγγύτητας μεταξύ κβαντικών καταστάσεων.

Οι ερευνητές πάντα πίστευαν ότι πρέπει να υπάρχει ένας κβαντικός κανόνας Bayes, καθώς οι κβαντικές καταστάσεις ορίζουν πιθανότητες. Για παράδειγμα, η κβαντική κατάσταση ενός σωματιδίου παρέχει την πιθανότητα να βρεθεί σε διαφορετικές τοποθεσίες. Ο στόχος είναι να καθοριστεί όλη η κβαντική κατάσταση, αλλά το σωματίδιο βρίσκεται μόνο σε μία τοποθεσία όταν γίνεται μια μέτρηση. Αυτή η νέα πληροφορία ενημερώνει την πεποίθηση, αυξάνοντας την πιθανότητα γύρω από εκείνη την τοποθεσία.

Η ομάδα παρήγαγε τον κβαντικό κανόνα Bayes μεγιστοποιώντας την πιστότητα ανάμεσα σε δύο αντικείμενα που αντιπροσωπεύουν τη διαδικασία προς τα εμπρός και την αντίστροφη διαδικασία, σε αναλογία με μια κλασική κοινή κατανομή πιθανοτήτων. Η μεγιστοποίηση της πιστότητας είναι ισοδύναμη με την ελαχιστοποίηση της αλλαγής. Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι εξισώσεις τους ταίριαξαν με τον χάρτη αποκατάστασης Petz (Petz recovery map), που προτάθηκε από τον Dénes Petz τη δεκαετία του 1980 και αργότερα αναγνωρίστηκε ως ένας από τους πιο πιθανούς υποψήφιους για τον κβαντικό κανόνα Bayes με βάση μόνο τις ιδιότητές του.

«Είναι η πρώτη φορά που τον παράγουμε από μια ανώτερη αρχή, κάτι που θα μπορούσε να είναι επικύρωση για τη χρήση του χάρτη Petz», είπε ο καθηγητής Scarani.

Εφαρμογές στην κβαντική τεχνολογία

Ο χάρτης Petz έχει πιθανές εφαρμογές στην κβαντική πληροφορική για καθήκοντα όπως η διόρθωση κβαντικών σφαλμάτων και το machine learning. Η ομάδα σχεδιάζει να διερευνήσει εάν η εφαρμογή της αρχής της ελάχιστης αλλαγής σε άλλα κβαντικά μέτρα μπορεί να αποκαλύψει και άλλες λύσεις.