Μια ομάδα τριών Κινέζων επιστημόνων, με τη βοήθεια υπολογιστικών μεθόδων, απέδειξε ότι πολλαπλότητες με Kervaire invariant one υπάρχουν στη διάσταση 126, βάζοντας τέλος σε ένα μαθηματικό μυστήριο έξι δεκαετιών
Η μελέτη – την οποία υπογράφουν οι Wang Guozhen και Lin Weinan από το Shanghai Center for Mathematical Sciences του Πανεπιστημίου Fudan, καθώς και ο Xu Zhouli από το Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας, Λος Άντζελες – δεν έχει ακόμη περάσει από διαδικασία αξιολόγησης από ομότιμους.
Τι είναι το Kervaire invariant;
Το Kervaire invariant είναι ένα μαθηματικό εργαλείο που καθορίζει εάν ορισμένα καμπυλωτά σχήματα, γνωστά ως ομαλές πλαισιωμένες πολλαπλότητες (smooth framed manifolds), μπορούν να μετασχηματιστούν σε σφαίρες μέσω μιας μεθόδου γνωστής ως «χειρουργική». Μια τιμή μηδέν σημαίνει ότι μπορούν, ενώ μία τιμή ένα σημαίνει ότι δεν μπορούν. Το πρόβλημα του Kervaire invariant εξετάζει σε ποιες διαστάσεις υπάρχουν αυτά τα ασυνήθιστα, μη σφαιρικά σχήματα.
Ανακάλυψη στη 126η διάσταση
Σύμφωνα με τους ερευνητές, επιβεβαίωσαν την ύπαρξη ομαλών πλαισιωμένων πολλαπλοτήτων με Kervaire invariant one στη διάσταση 126, επιλύοντας έτσι την τελευταία εκκρεμή περίπτωση.
Η ομάδα κατέληξε στο συμπέρασμα ότι οι ομαλές πλαισιωμένες πολλαπλότητες με Kervaire invariant ένα υπάρχουν μόνο στις διαστάσεις 2, 6, 14, 30, 62 και 126. Το πρόβλημα είχε απασχολήσει τους μαθηματικούς για δεκαετίες. Ήδη από το 1963, οι μαθηματικοί Michel Kervaire και John Milnor είχαν αποδείξει την ύπαρξή τους στις διαστάσεις 6 και 14, σημειώνοντας πρόοδο, όπως ανέφερε η South China Morning Post.
Για δεκαετίες, οι μαθηματικοί περίμεναν ότι το μοτίβο αυτό θα επεκτεινόταν σε υψηλότερες διαστάσεις, όπως η 126 και η 254. Ωστόσο, η πρόοδος σταμάτησε στη διάσταση 62. Η υπόθεση ότι οι πολλαπλότητες με Kervaire invariant ένα πρέπει να υπάρχουν σε αυτές τις υψηλότερες διαστάσεις επηρέασε την ανάπτυξη προτάσεων σχετικά με εξωτικά σχήματα.
Επιβεβαίωση της υπόθεσης «doomsday»
Το 2009, ο Αμερικανός μαθηματικός Michael Hopkins από το Πανεπιστήμιο Harvard και η ομάδα του απέδειξαν ότι οι πολλαπλότητες με Kervaire invariant one υπάρχουν μόνο σε διαστάσεις έως την 126 και δεν εμφανίζονται στις διαστάσεις 254 ή υψηλότερες, επιβεβαιώνοντας την υπόθεση «doomsday».
Αν και η απόδειξή τους έλυσε ένα μακροχρόνιο πρόβλημα στην αλγεβρική τοπολογία, το ερώτημα εάν οι πολλαπλότητες με Kervaire invariant one υπήρχαν στη διάσταση 126 παρέμεινε αναπάντητο για τα επόμενα 15 χρόνια. Τώρα, ο μαθηματικός κόσμος έχει αδιαμφισβήτητη απόδειξη ότι τέτοιες πολλαπλότητες υπάρχουν στη διάσταση 126, κλείνοντας τελικά αυτό το μακροχρόνιο μυστήριο.
Ο Hopkins ανέφερε ότι, πριν από τη δημοσίευση της απόδειξής τους, οι μαθηματικοί θεωρούσαν ότι ένα τέτοιο «ηρωικά υπολογιστικό» επίτευγμα ήταν ανέφικτο. Η αντιμετώπιση του προβλήματος της διάστασης 126 περιλάμβανε την ανάλυση των σταθερών ομοτοπικών ομάδων των σφαιρών, οι οποίες περιγράφουν πώς τα σημεία σε σφαίρες υψηλών διαστάσεων μπορούν να χαρτογραφηθούν ή να παραμορφωθούν σε χαμηλότερες διαστάσεις.
Η ακολουθία φάσματος Adams είναι ένα μαθηματικό εργαλείο – που συχνά απεικονίζεται ως ένας «άτλαντας κουκκίδων»-το οποίο βοηθά τους ερευνητές να πλοηγηθούν στις πολυπλοκότητες της σταθερής ομοτοπίας. Για τη διάσταση 126, ήταν γνωστό ότι αν μια συγκεκριμένη κουκκίδα στην 126η στήλη διατηρούνταν σε όλα τα στάδια αυτής της ακολουθίας, θα επιβεβαιωνόταν η ύπαρξη πολλαπλοτήτων σε αυτή τη διάσταση που δεν μπορούν να μετατραπούν σε σφαίρες.
Χρησιμοποιώντας νέες υπολογιστικές μεθόδους που ανέπτυξαν οι Xu και Wang, ο Lin σχεδίασε ένα πρόγραμμα που εξάλειψε 101 από τις πιθανές περιπτώσεις. Μετά από έναν ακόμη χρόνο αφοσιωμένης εργασίας, η ομάδα κατάφερε να αποκλείσει και τις τελευταίες τέσσερις.
